在这个特别兴趣组中，学生用书是通用的奥数教材，不过教师用书可不太普通—我们用的是G. Polya写的《怎样解题—数学思维的新方法》（How To Solve it）和陶哲轩写的《陶哲轩教你学数学》。换句话说，我们践行的是Polya的数学教育观—重在倾听孩子们的理解和猜想，重在引导孩子们观察、尝试、联想、归纳、做“合情推理”，总之是一种“慢数学”的风格，有时候我们甚至2个小时只讲一道题。

一开始的确看不出成效，但等到三年下来，才慢慢发现孩子们有了一些进步—当然，这些进步不是指孩子们参加某个杯赛拿了个奖，而是指孩子们掌握了一些基本的数学思维，体现在自己能够提出和证明一些猜想，比如包若宁、卜文远、魏文珊小朋友提出了三阶幻方的“包卜魏猜想”，傅鼎荃小朋友在学习“鸡兔同笼”问题时，完全自主地想出了“二分法”。在思维火花迸发的尤里卡时刻，孩子们兴奋得又喊又跳；躬逢其时，我们也非常欣慰—这是对教师最大的肯定和褒奖。

等到了2020年春节，因为出现疫情，孩子们都憋在家里，很是无聊，就嚷嚷着让我们教他们编程。教一门编程语言容易，但是关键不在这里，而在于教“计算思维”，这给我们出了一个不小的难题。

事实上，包云岗、兰艳艳和我都在中国科学院大学教计算机科学与技术：包老师讲授“操作系统”，负责“一生一芯”实践计划，讲解如何设计CPU和计算机系统；兰老师讲授“机器学习和人工智能”，训练计算机怎样学习；我讲授“计算机算法设计”，包括怎样观察问题和求解问题。简而言之，我们教的都是“计算思维”。

不过我们面向的都是本科生和研究生，能否教小学生计算思维？教什么？怎么教？这对我们来说是全新的挑战。这可不像教数学，还有Polya和陶哲轩写的书能够当作教材，给我们一些指导。

我们在开课前思考了很久，教的时候又边教边琢磨，把教授本科生、研究生的计算思维进行裁剪和修改，形成了一个初步的“小学生版”计算思维。

所谓计算思维，其核心是碰到问题时如何观察、如何尝试，然后如何根据观察到的规律设计计算机程序来求解问题。下面这几条或许是最基本的计算思维：

（1）先正向尝试理解题意，再反向求解问题

碰到一个问题如何下手？孩子们往往会对着问题发呆，感觉束手无策。这不怪孩子们，求解问题是“反向思维”，有时候的确不太容易一下子就想出来。

在这种情况下，“先正向尝试理解题意，再反向求解问题”是走出困境的一个好办法。以“鸡兔同笼”问题为例，可以先尝试一下“鸡有0只”，即使这个尝试非常粗糙也没关系，然后验证这个尝试对不对，不对再修改尝试，比如接着尝试“有1只鸡对不对”，如果不对再增加鸡的数目。

先尝试猜测一个解（或许这个解很粗糙，这不要紧），再验证这个猜测是否满足要求，不满足要求就修改；这种“尝试-验证-改进”策略是“试错法”，也是“逐步改进法”。正向尝试有助于理解题意，或许应该成为孩子们碰到问题时的“第一反应”。

这种策略看起来很笨，不过却有三个好处：一是能够使孩子们动起手来，避免发呆；二是能够启发我们写一个求解的程序；第三点更重要，孩子们尝试不了几次，可能就会自己发现规律，想出更好的求解方法—这不是想象或夸张，SIGMA的孩子们就是这样想出求解方法的。

说得更远一点儿，计算机科学与技术里普遍采用这种“用正向尝试来反向解题”的策略。一个典型的方法就是神经网络的训练过程—尝试设置网络参数，做正向的网络传播，验证传播的结果，如果不好就修正网络参数，最终反向求解出网络参数。

（2）从最简单的做起

碰到一个复杂的问题怎么办？比如“四个和尚分馍馍”问题，唐僧师徒4人化缘化到了10个馍馍，问共有几种分法？孩子们没学过组合数学，看到这么多和尚和这么多馍馍，一下就傻眼了。

直接求解这个问题是很难的，我们就启发孩子们从最简单的做起：4个和尚、10个馍馍的问题不会解，那就先考虑2个和尚、1个馍馍的问题。反过来，如果最简单的情形都无法解决，那就说明这个问题太难了，要么放弃，要么琢磨最简单的情形与原始问题之间的差异。当知道怎样求解2个和尚、1个馍馍的问题之后，我们再增加难度，考虑2个和尚、2个馍馍的问题，以及3个和尚、3个馍馍的问题。

找出问题的最简单情形，从最简单的情形入手，可以有效避免孩子们面对复杂问题时束手无策。所谓下手，所谓破题，所谓“把手弄脏”，就是第二个有效方式。

（3）要学会把复杂问题分解成简单问题

这和上一点是一脉相承的。当面对复杂问题时，首先要思考什么是最简单情况，最简单情况下的问题会不会解。假如最简单的情况会解了，下面的思考方向就是如何把复杂问题分解成简单问题。

还是拿“4个和尚分10个馍馍”做例子，假设知道唐僧吃了1个馍馍，剩下的问题就简化成“3个和尚分9个馍馍”了。把复杂问题分解成简单的、同类型的问题，就朝着最终解决问题前进了一大步。

当然，这种“假设法”只是一种问题分解手段，除此之外，还有“二分法”等。我们设计了几个题目，比如“求2的平方根”，目的就是引导孩子们领会“二分法”。

（4）枚举容易做，关键是剪枝

如果说计算思维和数学思维有什么不同，我想最大的不同或许在于“枚举法”。其中的道理很简单：人力有限，惧怕枚举；计算机不怕累，不怕枚举，反而有时候喜欢枚举—枚举程序多容易写啊。

碰到哪种问题可以尝试“枚举法”呢？如果一个问题的解是多个变量的组合，我们可以尝试一下“枚举法”。以“数字谜”问题为例，解是多个变量的组合，我们只需要枚举变量的所有组合就可以了。孩子们在数学课上常会碰到这种题目，当时很畏难—不是不会做，而是所有的组合太多了，一想到枚举就发怵。不过到了编程课上就简单了，只需要写一个“嵌套循环”，让计算机拼命算就行了。

当然了，要是组合数量实在太多的话，计算机也枚举不完。这时候的关键是找“最受限制”的变量，用这个变量对枚举树进行“剪枝”。我们在讲“数字谜”时，让孩子们尝试最笨的枚举，然后和带剪枝的枚举进行对比，从而体会剪枝的重要性。

孩子们将来会发现很多问题和“数字谜”问题类似，解是由多个变量组成的。对这种问题，“枚举+剪枝”是行之有效的解题思路。

（5）随机是个利器

孩子们还是小学生，接触的“确定性”方法多，“随机性”算法少。我们设计了“布丰投针估计π”“打圆形靶子估计π”“布朗运动和醉汉的脚步”实验，意在引导孩子们从随机算法的角度思考问题。

“布朗运动和醉汉的脚步”实验，意在告诉孩子们很多天然现象的本质就是随机；而“布丰投针估计π”和“打圆形靶子估计π”实验，是想让孩子们体会到即使是确定性的问题，也可以用随机方法解决。随机采样可以大大减少计算量，不需要特别多的采样，也能得到很好的结果。

（6）仿真物理世界

在学习计算思维的过程中，一个需要防止的倾向是把计算机世界和真实的物理世界割裂开来。

为了防止这种倾向，我们引导孩子们在写程序之前，尽可能先做一些物理实验。比如在写“打圆形靶子估计π”程序之前，先用圆珠笔作飞镖、向靶子上投掷；在写“花粉的布朗运动”仿真程序之前，先用激光笔照射淀粉悬浮液，体会真实的布朗运动；在写“牛顿的大炮”程序之前，先用三根弹簧秤探索拉力分解的奥秘。有了真实的体会再写程序，和没有体会直接写，感觉是大不相同的。

此外，我们在设计题目时非常强调“数学建模”，即怎样把物理世界中的实际问题表示成计算机问题或数学问题。比如我们设计了“森林里有几只老鼠几只猫头鹰”这一讲，意图引导孩子们体会如何仿真“猎物-捕食者”动力学系统；设计了“牛顿的大炮”这一讲，意图引导孩子们体会如何把物理世界“装”到计算机里去。

值得指出的是，“森林里有几只老鼠几只猫头鹰”背后有高深的数学思想；C. Lay写的《线性代数及其应用》中讲到矩阵特征值时，开篇用的就是这个例子。等到孩子们长大了，学习大学数学时，相信会有似曾相识的感觉。

总结一下：从粗糙的解开始大胆尝试，不断改进；从最简单的情形做起，把复杂问题分解成简单问题；枚举所有的解，设计“剪枝”技术加快枚举过程；随机采样少量的样本，以减少计算量，这大概就是最基本的计算思维了。我们给本科生、研究生讲的无非也是这几条，只不过是更深、更广一些罢了。

德国数学家、数学教育家F. Klein写了一本书，书名叫作《高观点下的初等数学》，其核心观点之一是“有些基础数学，从高观点下才能看得更加明白”。我们把讲授给本科生、研究生的计算思维做了筛选，然后讲授给孩子们；不揣浅陋，这或许可以称作“高观点下的少儿计算思维”吧。

为了便于孩子们理解和掌握计算思维，我们还设计了一些游戏，比如“找钻石”游戏是为了体会“二分法”，“走迷宫”游戏是为了体会陶哲轩提出的解题大法—解题无非是尝试寻找一条从已知到结论的路径。我们几位老师平时研究的就是算法和系统，所以给孩子们讲授的计算思维自然而然地带有浓厚的“数学思维”和“系统思维”色彩。

大概花了4个月的时间，我们就教完孩子们编程了，包括编程基础知识和计算思维。那孩子们学得到底怎么样呢？

事情很是凑巧，2021年5月22日计算所举办“公众科学日”活动，其中一个节目是我带着小SIGMA们做一期“知乎课堂”，讲的题目是“如何用Scratch编程实现一只阿尔法小狗”。台下有300名现场观众注视，线上还有30万观众观看，孩子们顶住压力，现场编程，出了bug现场解决，成功实现了会下tic-tac-toe棋的阿尔法小狗；然后给观众讲解背后的原理和编程步骤，邀请观众进行“人狗大战”；最后又分成两个战队进行“狗狗大战”，看哪一队设计的阿尔法小狗更厉害。

现场完成编程和讲解，说明孩子们掌握了基本的计算思维和程序设计技能。此外，张秦汉小朋友参加“核桃杯”编程大赛，获得了北京市金奖，也是一个小小的证明，值得鼓励。

我们在讲课时就要求孩子们做笔记，记录自己的理解、实验设计思路和实验结果。孩子们轮流来，每一讲都推选一位小朋友负责整理笔记：写程序、分析实验结果、上网查资料，这通常需要花费一周的时间。孩子们写完之后，由我们修改、校补和点评，最终汇集成了这本小书。我们所做的大修改都以“教师点评”的形式明确标识，尽量把修改最小化，以保持孩子们写作的原汁原味—童言童语，自当胜过老生常谈。

这本书是孩子和家长共同劳动的成果：部分插图是孩子们手绘的；封面是刘卫玲设计的；全书由包云岗、张春明、谭光明、兰艳艳、何海芸校对。每一位家长都没有缺席。

在我的心目中，小SIGMA数学特别兴趣组不是一个课外补习班，而是我们这些做父母的和孩子们做的一场亲子游戏，是把我们的思考和领悟教给孩子们的一次传承，是共同领略数学思维和计算思维的一次探秘之旅。

我们这些家长们会永远记得这段时光。我想我们的孩子们将来上了大学，学到高等数学、概率论、计算机算法、人工智能时，应该时不时会感觉似曾相识，大道至简，当会心一笑罢。

是为记。

中国科学院计算技术研究所 卜东波

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